\documentclass{article}
Introduction}
Vous avez été introduit au concept d’aire en classe IV. Révisons-le.  
Combien de carreaux de marbre peut-on poser sur le sol ou le mur ?  
Quelle quantité de peinture est nécessaire pour le mur ?  

Toutes ces questions font référence à la surface délimitée par une frontière et sont résolues par l’aire.

\section*{Qu'est-ce que l'aire ?}
L’aire d’une figure est la quantité d’espace qu’elle couvre.  

Elle fait référence à la surface plane occupée par une figure géométrique. La partie colorée de chacune des formes montre la quantité d’espace couverte par chacune d’elles sur cette feuille de papier, c’est-à-dire qu’elle représente leur aire.  

Quelle forme a la plus grande aire ? Pour répondre à cette question, nous devons déterminer laquelle de ces formes couvre le plus de surface sur le papier. Évidemment, la forme C a la plus grande aire.

\begin{center}
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{shapes.png}
\end{center}

L’aire se trouve en calculant combien d’unités de surface sont nécessaires pour recouvrir exactement la figure donnée.

\section*{Unités de mesure de l'aire}
Les unités utilisées pour mesurer l’aire sont basées sur les unités de longueur, c'est-à-dire : mm, cm, m et km.

\begin{itemize}
    \item \( 1 \text{ mm}^2 \) : C'est une aire égale à 1 millimètre carré (\( mm^2 \)).
    \item \( 1 \text{ cm}^2 \) : C'est une aire égale à 1 centimètre carré (\( cm^2 \)).
    \item \( 1 \text{ m}^2 \) et \( 1 \text{ km}^2 \) : Représentent d’autres unités de mesure de l’aire comme le mètre carré (\( m^2 \)) et le kilomètre carré (\( km^2 \)).
\end{itemize}

L’unité utilisée pour mesurer l’aire dépend de la taille de la surface à mesurer.

Mesure de l'Aire}
Exemples de Mesure d'Aire}
L'aire des objets suivants est généralement mesurée comme suit :

\begin{itemize}
    \item Une pièce de 1-roupie \quad en \( mm^2 \).
    \item Un billet de 200-roupies \quad en \( cm^2 \).
    \item Le sol de votre chambre \quad en \( m^2 \).
    \item Une ville \quad en \( km^2 \).
\end{itemize}

\section*{Trouver l'Aire à l'Aide d'une Grille Carrée}
L'aire des formes ombrées peut être estimée en comptant le nombre de carrés unitaires qu'elles couvrent. Donnez votre réponse en unités carrées.  
Ici, nous avons aussi quelques demi-carrés. Comptez 2 demi-carrés comme une unité carrée.

\subsection*{Exemple 1}
\begin{itemize}
    \item Carrés entiers = 22
    \item Demi-carrés = 6
    \item Plus de la moitié des carrés = 3
\end{itemize}

\[
\text{Aire de la figure} = 22 + 6 \times \frac{1}{2} + 2 = 27 \text{ unités carrées}.
\]

\begin{center}
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{figure1.png}
\end{center}

\subsection*{Exemple 2}
\begin{itemize}
    \item Carrés entiers = 22
    \item Demi-carrés = 4
\end{itemize}

\[
\text{Aire de la figure} = 22 + 4 \times \frac{1}{2} = 24 \text{ unités carrées}.
\]

(L’aire de trois carrés remplis à plus de la moitié est presque égale à celle de deux carrés entiers.)

\begin{center}
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{figure2.png}
\end{center}

\end{document}

Aire d'un Rectangle}

\section*{Aire d'un Rectangle}
Voici trois rectangles recouverts de petits carrés. Chaque petit carré représente 1 centimètre carré, c'est-à-dire qu'il mesure 1 cm de côté.

\begin{center}
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{rectangles.png}
\end{center}

Comptez le nombre de petits carrés qui recouvrent chaque rectangle. Cela vous donnera l’aire du rectangle en centimètres carrés. Notez également la longueur et la largeur de chaque rectangle en centimètres. Que remarquez-vous ?

\subsection*{Rectangle A}
\begin{itemize}
    \item Nombre de petits carrés = 12
    \item Aire = \( 12 \) cm²
    \item Longueur = \( 4 \) cm
    \item Largeur = \( 3 \) cm
\end{itemize}

\subsection*{Rectangle B}
\begin{itemize}
    \item Nombre de petits carrés = 20
    \item Aire = \( 20 \) cm²
    \item Longueur = \( 5 \) cm
    \item Largeur = \( 4 \) cm
\end{itemize}

\subsection*{Rectangle C}
\begin{itemize}
    \item Nombre de petits carrés = 7
    \item Aire = \( 7 \) cm²
    \item Longueur = \( 7 \) cm
    \item Largeur = \( 1 \) cm
\end{itemize}

\section*{Observation}
À partir de ces exemples, nous pouvons constater qu'il existe une méthode rapide pour trouver l’aire sans avoir à compter les petits carrés un par un.  

En effet :
\[
4 \times 3 = 12, \quad 5 \times 4 = 20, \quad 7 \times 1 = 7
\]

Nous pouvons donc dire que l'aire de chaque rectangle peut être trouvée en multipliant la longueur par la largeur.

\begin{center}
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{calculs_rectangles.png}
\end{center}

\section*{Conclusion}
L’aire \( A \) d’un rectangle de longueur \( l \) et de largeur \( b \) est donnée par :

\[
A = l \times b
\]

\begin{center}
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{formule_rectangle.png}
\end{center}

Aire d'une porte}
\[
\text{Aire de la porte} = 7 \, \text{m} \times 3 \, \text{m} = 21 \, \text{m}^2
\]

\section{Aire d'un écran de télévision}
\[
\text{Aire de l'écran de télévision} = 32 \, \text{cm} \times 20 \, \text{cm} = 640 \, \text{cm}^2
\]

\section{Aire d'un terrain de badminton}
\[
\text{Aire du terrain de badminton} = 6,1 \, \text{m} \times 13,41 \, \text{m} = 81,801 \, \text{m}^2
\]

Puisque l'aire d'un rectangle est donnée par la formule :  
\[
\text{Aire} = \text{Longueur} \times \text{Largeur}
\]
Donc,  
\[
\text{Longueur} = \frac{\text{Aire}}{\text{Largeur}} \quad \text{et} \quad \text{Largeur} = \frac{\text{Aire}}{\text{Longueur}}
\]

\section{Aire d'un carré}
Un carré est un rectangle dont la longueur et la largeur sont égales, donc son aire est :  
\[
\text{Aire d'un carré} = \text{côté} \times \text{côté} = \text{côté}^2
\]

\subsection{Exemples}

\subsection{Aire d'un logo carré}
\[
\text{Aire du logo carré} = 20 \, \text{mm} \times 20 \, \text{mm} = 400 \, \text{mm}^2
\]

\subsection{Aire du cadran d'une horloge}
\[
\text{Aire du cadran de l'horloge} = 6 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} = 36 \, \text{cm}^2
\]

\subsection{Aire d'un tapis carré}
\[
\text{Aire du tapis carré} = 1,8 \, \text{m} \times 1,8 \, \text{m} = 3,24 \, \text{m}^2
\]

\subsection{Exemple 7 :}
(a) Trouver la longueur d'un rectangle si son aire est de 120 cm² et sa largeur est de 10 cm.  
(b) Trouver la largeur d'un rectangle si son aire est de 91 cm² et sa longueur est de 13 cm.

(a) Aire = 120 cm², Largeur = 10 cm  
\[
\text{Longueur} = \frac{\text{Aire}}{\text{Largeur}} = \frac{120 \, \text{cm}^2}{10 \, \text{cm}} = 12 \, \text{cm}
\]

(b) Aire = 91 cm², Longueur = 13 cm  
\[
\text{Largeur} = \frac{\text{Aire}}{\text{Longueur}} = \frac{91 \, \text{cm}^2}{13 \, \text{cm}} = 7 \, \text{cm}
\]

\subsection{Exemple 8 :} Le périmètre d'un carré est de 24 cm. Trouvez son aire.  
Pour trouver l'aire, nous avons besoin de la longueur du côté du carré.  
\[
\text{Côté du carré} = \frac{\text{Périmètre}}{4} = \frac{24 \, \text{cm}}{4} = 6 \, \text{cm}
\]
\[
\text{Aire} = \text{côté} \times \text{côté} = 6 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} = 36 \, \text{cm}^2
\]