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    • Périmètre et Aire 

      \subsection{Périmètre}  
      Aditya fait quatre tours d'un parc rectangulaire chaque jour. Quelle distance parcourt-il chaque jour ?  
      Mme Saini coud une dentelle autour du mouchoir carré pour sa petite-fille. De quelle quantité de dentelle a-t-elle besoin ?  
      Toutes ces questions qui se réfèrent à la distance autour d'une figure plane sont résolues par le "Périmètre".

      \subsection{Qu'est-ce que le Périmètre ?}  
      Le mot périmètre est dérivé de deux mots grecs : \textit{peri} signifiant autour et \textit{metron} signifiant mesure.  
      Ainsi, nous mesurons le périmètre d'une figure plane en additionnant les longueurs de ses côtés.  
      Le périmètre est la distance autour d'une figure plane ou la longueur de la frontière d'une figure plane.

      Observez les exemples suivants.  
      - Si le parc rectangulaire a une longueur de 150 m et une largeur de 80 m, alors  
        - Distance parcourue par Aditya chaque jour = \( 4 \times \) périmètre du parc  
        = \( 4 \times (150 + 80 + 150 + 80) \, \text{m} \)  
        = \( 4 \times (460) = 1840 \, \text{m} \)  
      - Si chaque côté du mouchoir carré mesure 10 cm, alors la dentelle nécessaire pour Mme Saini =  
        - Périmètre du mouchoir  
        = \( 10 + 10 + 10 + 10 \, \text{cm} = 40 \, \text{cm} \)

      \subsection{Périmètre d'un Rectangle}  
      Un rectangle est une figure plane dont les côtés opposés (face à face) sont de longueurs égales.  
      Ainsi, nous avons deux longueurs égales et deux largeurs égales.  
      Périmètre d'un rectangle = longueur + largeur + longueur + largeur  
      = longueur + longueur + largeur + largeur  
      = \( 2 \times \) longueur + \( 2 \times \) largeur  
      = \( 2 \times \) (longueur + largeur) = \( 2 \times (L + l) \)

      ---

      **Longueur (L)**  
      Largeur (l)  
      Largeur (l)  

      ---

      **Longueur (L)**  
      Largeur (l)

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    • \section{Périmètre d'un rectangle}
      Le périmètre d'un rectangle est donné par la formule :  
      \[
      \text{Périmètre du rectangle} = 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur})
      \]

      \subsection{Exemple 1 :} Trouver le périmètre d'un drap dont la longueur est de 8 m et la largeur de 5 m.

      \[
      \begin{array}{l}
      \text{Périmètre du drap} \\
      = 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) \\
      = 2 \times (8 \, \text{m} + 5 \, \text{m}) = 2 \times 13 \, \text{m} = 26 \, \text{m} \\
      \end{array}
      \]

      \section{Périmètre d'un carré}
      Un carré est une figure plane dont les quatre côtés sont de longueurs égales.  
      Le périmètre d'un carré est donné par la formule :  
      \[
      \text{Périmètre du carré} = \text{côté} + \text{côté} + \text{côté} + \text{côté} = 4 \times \text{côté}
      \]

      \subsection{Exemple 2 :} Trouver le périmètre d'un cadre photo carré dont chaque côté mesure 40 cm.  
      \[
      \text{Périmètre du cadre photo} = 4 \times \text{côté} = 4 \times 40 \, \text{cm} = 160 \, \text{cm}
      \]

      \section{Périmètre d'un triangle équilatéral}
      Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont égaux.  
      Le périmètre d'un triangle équilatéral est donné par la formule :  
      \[
      \text{Périmètre du triangle équilatéral} = \text{côté} + \text{côté} + \text{côté} = 3 \times \text{côté}
      \]

      \section{Périmètre d'un triangle équilatéral}
      Le périmètre d'un triangle équilatéral est donné par la formule :  
      \[
      \text{Périmètre du triangle équilatéral} = 3 \times \text{longueur d'un côté}
      \]

      \subsection{Exemple 3 :} Un timbre a la forme d'un triangle équilatéral. Chaque côté mesure 2,5 cm. Quelle est la longueur de la bordure du timbre ?  
      \[
      \text{Longueur de la bordure du timbre} = 3 \times \text{côté} = 3 \times 2,5 \, \text{cm} = 7,5 \, \text{cm}
      \]

      \subsection{Exemple 4 :} M. Kapoor souhaite mettre une bordure en bois autour d'une peinture. Si la longueur de la peinture est de 40 cm et sa largeur de 25 cm, quel sera le coût de la bordure à 40 Rs par cm ?  
      \[
      \text{Longueur de la peinture} = 40 \, \text{cm} \\
      \text{Largeur de la peinture} = 25 \, \text{cm} \\
      \text{Périmètre de la peinture} = 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) \\
      = 2 \times (40 \, \text{cm} + 25 \, \text{cm}) = 2 \times 65 \, \text{cm} = 130 \, \text{cm}
      \]
      Le coût de la bordure pour 1 cm est de 40 Rs.  
      Ainsi, le coût total de la bordure pour la peinture est de :  
      \[
      130 \, \text{cm} \times 40 \, \text{Rs/cm} = 5200 \, \text{Rs}
      \]

      \subsection{Exemple 5 :} Le périmètre d'un champ rectangulaire est de 42 m et sa longueur est de 10 m. Trouvez sa largeur.  
      \[
      \text{Périmètre} = 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) \\
      \text{Donc, longueur} + \text{largeur} = \frac{\text{Périmètre}}{2} \\
      10 \, \text{m} + \text{largeur} = \frac{42 \, \text{m}}{2} = 21 \, \text{m} \\
      \text{largeur} = 21 \, \text{m} - 10 \, \text{m} = 11 \, \text{m}
      \]

      \subsection{Exemple 6 :} Quelle est la longueur du côté d'un parc carré dont le périmètre est de 80 m ?  
      \[
      \text{Périmètre d'un carré} = 4 \times \text{côté} \\
      \text{Donc, côté} = \frac{\text{Périmètre}}{4} \\
      \text{Longueur d'un côté du parc carré} = \frac{80 \, \text{m}}{4} = 20 \, \text{m}
      \]

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    • \documentclass{article}
      Introduction}
      Vous avez été introduit au concept d’aire en classe IV. Révisons-le.  
      Combien de carreaux de marbre peut-on poser sur le sol ou le mur ?  
      Quelle quantité de peinture est nécessaire pour le mur ?  

      Toutes ces questions font référence à la surface délimitée par une frontière et sont résolues par l’aire.

      \section*{Qu'est-ce que l'aire ?}
      L’aire d’une figure est la quantité d’espace qu’elle couvre.  

      Elle fait référence à la surface plane occupée par une figure géométrique. La partie colorée de chacune des formes montre la quantité d’espace couverte par chacune d’elles sur cette feuille de papier, c’est-à-dire qu’elle représente leur aire.  

      Quelle forme a la plus grande aire ? Pour répondre à cette question, nous devons déterminer laquelle de ces formes couvre le plus de surface sur le papier. Évidemment, la forme C a la plus grande aire.

      \begin{center}
          \includegraphics[width=0.5\textwidth]{shapes.png}
      \end{center}

      L’aire se trouve en calculant combien d’unités de surface sont nécessaires pour recouvrir exactement la figure donnée.

      \section*{Unités de mesure de l'aire}
      Les unités utilisées pour mesurer l’aire sont basées sur les unités de longueur, c'est-à-dire : mm, cm, m et km.

      \begin{itemize}
          \item \( 1 \text{ mm}^2 \) : C'est une aire égale à 1 millimètre carré (\( mm^2 \)).
          \item \( 1 \text{ cm}^2 \) : C'est une aire égale à 1 centimètre carré (\( cm^2 \)).
          \item \( 1 \text{ m}^2 \) et \( 1 \text{ km}^2 \) : Représentent d’autres unités de mesure de l’aire comme le mètre carré (\( m^2 \)) et le kilomètre carré (\( km^2 \)).
      \end{itemize}

      L’unité utilisée pour mesurer l’aire dépend de la taille de la surface à mesurer.

    • Mesure de l'Aire}
      Exemples de Mesure d'Aire}
      L'aire des objets suivants est généralement mesurée comme suit :

      \begin{itemize}
          \item Une pièce de 1-roupie \quad en \( mm^2 \).
          \item Un billet de 200-roupies \quad en \( cm^2 \).
          \item Le sol de votre chambre \quad en \( m^2 \).
          \item Une ville \quad en \( km^2 \).
      \end{itemize}

      \section*{Trouver l'Aire à l'Aide d'une Grille Carrée}
      L'aire des formes ombrées peut être estimée en comptant le nombre de carrés unitaires qu'elles couvrent. Donnez votre réponse en unités carrées.  
      Ici, nous avons aussi quelques demi-carrés. Comptez 2 demi-carrés comme une unité carrée.

      \subsection*{Exemple 1}
      \begin{itemize}
          \item Carrés entiers = 22
          \item Demi-carrés = 6
          \item Plus de la moitié des carrés = 3
      \end{itemize}

      \[
      \text{Aire de la figure} = 22 + 6 \times \frac{1}{2} + 2 = 27 \text{ unités carrées}.
      \]

      \begin{center}
          \includegraphics[width=0.5\textwidth]{figure1.png}
      \end{center}

      \subsection*{Exemple 2}
      \begin{itemize}
          \item Carrés entiers = 22
          \item Demi-carrés = 4
      \end{itemize}

      \[
      \text{Aire de la figure} = 22 + 4 \times \frac{1}{2} = 24 \text{ unités carrées}.
      \]

      (L’aire de trois carrés remplis à plus de la moitié est presque égale à celle de deux carrés entiers.)

      \begin{center}
          \includegraphics[width=0.5\textwidth]{figure2.png}
      \end{center}

      \end{document}

    • Aire d'un Rectangle}

      \section*{Aire d'un Rectangle}
      Voici trois rectangles recouverts de petits carrés. Chaque petit carré représente 1 centimètre carré, c'est-à-dire qu'il mesure 1 cm de côté.

      \begin{center}
          \includegraphics[width=0.7\textwidth]{rectangles.png}
      \end{center}

      Comptez le nombre de petits carrés qui recouvrent chaque rectangle. Cela vous donnera l’aire du rectangle en centimètres carrés. Notez également la longueur et la largeur de chaque rectangle en centimètres. Que remarquez-vous ?

      \subsection*{Rectangle A}
      \begin{itemize}
          \item Nombre de petits carrés = 12
          \item Aire = \( 12 \) cm²
          \item Longueur = \( 4 \) cm
          \item Largeur = \( 3 \) cm
      \end{itemize}

      \subsection*{Rectangle B}
      \begin{itemize}
          \item Nombre de petits carrés = 20
          \item Aire = \( 20 \) cm²
          \item Longueur = \( 5 \) cm
          \item Largeur = \( 4 \) cm
      \end{itemize}

      \subsection*{Rectangle C}
      \begin{itemize}
          \item Nombre de petits carrés = 7
          \item Aire = \( 7 \) cm²
          \item Longueur = \( 7 \) cm
          \item Largeur = \( 1 \) cm
      \end{itemize}

      \section*{Observation}
      À partir de ces exemples, nous pouvons constater qu'il existe une méthode rapide pour trouver l’aire sans avoir à compter les petits carrés un par un.  

      En effet :
      \[
      4 \times 3 = 12, \quad 5 \times 4 = 20, \quad 7 \times 1 = 7
      \]

      Nous pouvons donc dire que l'aire de chaque rectangle peut être trouvée en multipliant la longueur par la largeur.

      \begin{center}
          \includegraphics[width=0.7\textwidth]{calculs_rectangles.png}
      \end{center}

      \section*{Conclusion}
      L’aire \( A \) d’un rectangle de longueur \( l \) et de largeur \( b \) est donnée par :

      \[
      A = l \times b
      \]

      \begin{center}
          \includegraphics[width=0.4\textwidth]{formule_rectangle.png}
      \end{center}

    • Aire d'une porte}
      \[
      \text{Aire de la porte} = 7 \, \text{m} \times 3 \, \text{m} = 21 \, \text{m}^2
      \]

      \section{Aire d'un écran de télévision}
      \[
      \text{Aire de l'écran de télévision} = 32 \, \text{cm} \times 20 \, \text{cm} = 640 \, \text{cm}^2
      \]

      \section{Aire d'un terrain de badminton}
      \[
      \text{Aire du terrain de badminton} = 6,1 \, \text{m} \times 13,41 \, \text{m} = 81,801 \, \text{m}^2
      \]

      Puisque l'aire d'un rectangle est donnée par la formule :  
      \[
      \text{Aire} = \text{Longueur} \times \text{Largeur}
      \]
      Donc,  
      \[
      \text{Longueur} = \frac{\text{Aire}}{\text{Largeur}} \quad \text{et} \quad \text{Largeur} = \frac{\text{Aire}}{\text{Longueur}}
      \]

      \section{Aire d'un carré}
      Un carré est un rectangle dont la longueur et la largeur sont égales, donc son aire est :  
      \[
      \text{Aire d'un carré} = \text{côté} \times \text{côté} = \text{côté}^2
      \]

      \subsection{Exemples}

      \subsection{Aire d'un logo carré}
      \[
      \text{Aire du logo carré} = 20 \, \text{mm} \times 20 \, \text{mm} = 400 \, \text{mm}^2
      \]

      \subsection{Aire du cadran d'une horloge}
      \[
      \text{Aire du cadran de l'horloge} = 6 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} = 36 \, \text{cm}^2
      \]

      \subsection{Aire d'un tapis carré}
      \[
      \text{Aire du tapis carré} = 1,8 \, \text{m} \times 1,8 \, \text{m} = 3,24 \, \text{m}^2
      \]

      \subsection{Exemple 7 :}
      (a) Trouver la longueur d'un rectangle si son aire est de 120 cm² et sa largeur est de 10 cm.  
      (b) Trouver la largeur d'un rectangle si son aire est de 91 cm² et sa longueur est de 13 cm.

      (a) Aire = 120 cm², Largeur = 10 cm  
      \[
      \text{Longueur} = \frac{\text{Aire}}{\text{Largeur}} = \frac{120 \, \text{cm}^2}{10 \, \text{cm}} = 12 \, \text{cm}
      \]

      (b) Aire = 91 cm², Longueur = 13 cm  
      \[
      \text{Largeur} = \frac{\text{Aire}}{\text{Longueur}} = \frac{91 \, \text{cm}^2}{13 \, \text{cm}} = 7 \, \text{cm}
      \]

      \subsection{Exemple 8 :} Le périmètre d'un carré est de 24 cm. Trouvez son aire.  
      Pour trouver l'aire, nous avons besoin de la longueur du côté du carré.  
      \[
      \text{Côté du carré} = \frac{\text{Périmètre}}{4} = \frac{24 \, \text{cm}}{4} = 6 \, \text{cm}
      \]
      \[
      \text{Aire} = \text{côté} \times \text{côté} = 6 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} = 36 \, \text{cm}^2
      \]

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