Exercice 2:

Le but du problème est d'étudier la fonction \( f \) définie par :
\[
\begin{cases} 
\forall x \in ]0; 1[ \cup ]1; +\infty[; f(x) = \frac{x}{x-1} \times \ln x \\ 
f(0) = 0 \text{ et } f(1) = 1 
\end{cases}
\]

Partie A :

On considère la fonction \( g \) dérivable sur \( ]0 ; +\infty[ \) et définie par :
\[
g(x) = (x - 2) \ln x + (x + 1)
\]

1) Démontrer que pour tout réel \( x \) élément de \( ]0 ; +\infty[ \) : \( g'(x) = \frac{2(x-1)}{x} + \ln x \)}

 Solution :
Calculons la dérivée de \( g \) :
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}[(x - 2) \ln x] + \frac{d}{dx}[x + 1]
\]
\[
= \ln x + (x - 2) \cdot \frac{1}{x} + 1
\]
\[
= \ln x + \frac{x - 2}{x} + 1
\]
\[
= \ln x + \frac{2(x - 1)}{x}
\]

2) Étudier le sens de variation de \( g \). puis dresser son tableau de variation.

 Solution :
Pour étudier le sens de variation de \( g \), on étudie le signe de \( g'(x) \).

\[
g'(x) = \frac{2(x - 1)}{x} + \ln x
\]

    * Pour \( x \in ]0; 1[ \), \( \ln x < 0 \) et \( \frac{2(x - 1)}{x} < 0 \), donc \( g'(x) < 0 \).
    * Pour \( x = 1 \), \( g'(1) = 0 \).
    * Pour \( x \in ]1; +\infty[ \), \( \ln x > 0 \) et \( \frac{2(x - 1)}{x} > 0 \), donc \( g'(x) > 0 \).

Ainsi, \( g \) est décroissante sur \( ]0; 1[ \) et croissante sur \( ]1; +\infty[ \).

3) Déduire de 2) que \( g(x) \) est positif pour tout réel \( x \) élément de \( ]0 ; +\infty[ \)

Solution :
Puisque \( g \) est décroissante sur \( ]0; 1[ \) et croissante sur \( ]1; +\infty[ \), et que \( g(1) = 0 \), on a \( g(x) \geq 0 \) pour tout \( x \in ]0; +\infty[ \).

Partie B:

1-a) Calculer \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \)

Solution :
Calculons la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \to +\infty \) :
\[
f(x) = \frac{x}{x - 1} \ln x
\]
\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x - 1} = 1
\]
\[
\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty
\]
Donc, \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \).

b) Démontrer que \( f \) est continue à droite en 0 et continue en 1.

Solution :

    * Continuité à droite en 0 :} On a \( f(0) = 0 \). Calculons \( \lim_{x \to 0^+} f(x) \) :
    \[
    \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x - 1} \ln x = 0 \times (-\infty) = 0
    \]
    Donc, \( f \) est continue à droite en 0.
    
    * Continuité en 1 :  On a \( f(1) = 1 \). Calculons \( \lim_{x \to 1} f(x) \) :
    \[
    \lim_{x \to 1} \frac{x}{x - 1} \ln x = \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1} = 1
    \]
    Donc, \( f \) est continue en 1.

c) Calculer le nombre dérivé de \( f \) à droite en 0.

Solution :
Calculons la dérivée à droite de \( f \) en 0 :
\[
f'_d(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x}{x - 1} \ln x}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x - 1} = 0
\]

d) En déduire une équation de la tangente à \( (C) \) de \( f \) au point d'abscisse 1.

Solution :
On a \( f'(1) = \frac{3}{2} \). L'équation de la tangente en \( x = 1 \) est :
\[
y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 + \frac{3}{2}(x - 1)
\]
\[
y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}
\]

2-a) Démontrer que pour tout \( x \in ]0; 1[ \cup ]1; +\infty[; f'(x) = \frac{x}{(x-1)^2} \times g(x) \)

Solution :
Calculons la dérivée de \( f \) :
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x - 1} \ln x\right)
\]
\[
= \frac{(1)(x - 1) - x(1)}{(x - 1)^2} \ln x + \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{x}
\]
\[
= \frac{-1}{(x - 1)^2} \ln x + \frac{1}{x - 1}
\]
\[
= \frac{1}{x - 1} - \frac{\ln x}{(x - 1)^2}
\]
\[
= \frac{(x - 1) - \ln x}{(x - 1)^2}
\]
\[
= \frac{x - 1 - \ln x}{(x - 1)^2}
\]
\[
= \frac{x}{(x - 1)^2} \times g(x)
\]

b) En déduire le sens de variation de \( f \) et dresser son tableau de variation.

Solution :
Puisque \( g(x) \geq 0 \) pour tout \( x \in ]0; +\infty[ \), le signe de \( f'(x) \) dépend de \( \frac{x}{(x - 1)^2} \), qui est toujours positif. Donc, \( f'(x) \geq 0 \) pour tout \( x \in ]0; 1[ \cup ]1; +\infty[ \). Ainsi, \( f \) est croissante sur \( ]0; 1[ \) et \( ]1; +\infty[ \).

c) Démontrer que pour tout réel \( x \) appartenant à \( [0; 1] \), on a : \( 0 \leq f(x) \leq 1 \)

Solution :
Puisque \( f \) est croissante sur \( ]0; 1[ \) et continue en 0 et 1, on a :
\[
f(0) = 0 \leq f(x) \leq f(1) = 1
\]

d) Tracer la courbe \( (C) \)

Solution :
La courbe \( (C) \) est croissante sur \( ]0; 1[ \) et \( ]1; +\infty[ \), avec une tangente en \( x = 1 \) d'équation \( y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} \). La demi-tangente en 0 est horizontale.