Exercice 1 : (3 points) 

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère :

    - La sphère \((S) : x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + 8 = 0\)
    - Le plan \((P) : x - y + 2z + 1 = 0\)

    - Démontrer que le centre de \((S)\) est \(\Omega(1,2,3)\) et que son rayon est \(\sqrt{6}\).
    - Vérifier que \((P)\) est tangent à \((S)\).
  -
   
        - Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(\Omega\) et orthogonale à \((P)\).
        - Déterminer les coordonnées de \(\omega\), point de contact de \((P)\) et \((S)\).
 

Exercice 2 : (3 points) 

    -
   
        - Écrire sous forme algébrique le nombre complexe :
        \[
        3 - 2i^2
        \]
        - Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation :
        \[
        z^2 - 2(4+i)z + 10 + 20i = 0
        \]

    - Dans le plan complexe rapporté à \((O,\vec{u},\vec{v})\), on considère :
    \[
    A(1+3i), \quad B(7-i), \quad C(5+9i)
    \]
   
        - Montrer que 
        \[
        \dfrac{c-a}{b-a} = i
        \]
        - En déduire que le triangle \(ABC\) est rectangle isocèle.
   

Exercice 3 : (2,5 points) 

    - Vérifier que pour tout \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}\) :
    \[
    \frac{x^2}{x+1} = x - 1 + \frac{1}{x+1}
    \]
    - Montrer que :
    \[
    \int_{0}^{2} \frac{x^2}{x+1} \, dx = \ln 3
    \]
    - Par intégration par parties, montrer que :
    \[
    \int_{0}^{2} x \ln(x+1) \, dx = \frac{3}{2} \ln 3
    \]
Exercice 4 : (2,5 points) 

Un sac contient sept jetons portant les nombres : 0, 0, 0, -1, 1, 1, 1 (indiscernables au toucher).

On considère l'expérience suivante : on tire simultanément trois jetons du sac.

    - Soient les événements :
   
        - A : ``Aucun jeton tiré ne porte le nombre 0''
        - B : ``Trois jetons avec nombres différents deux à deux''
        - C : ``Somme des nombres nulle''

    Calculer 
    \[
    P(A), \quad P(B), \quad \text{et montrer que } P(C) = \frac{2}{7}
    \]
Problème : (9 points)

- Partie I : 

On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[
g(x) = e^{-x} + x - 1
\]

    - Calculer \(g'(x)\) et en déduire que \(g\) est :
   
        - croissante sur \([0, +\infty[\)
        - décroissante sur \(]-\infty, 0]\)

    - Montrer que \(g(x) \geq 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et en déduire que :
    \[
    e^{-x} + x \geq 1
    \]
Partie II:

On considère la fonction :
\[
f(x) = \frac{x}{x + e^{-x}}
\]
et \((C)\) sa courbe représentative.

    - Montrer que \(D_f = \mathbb{R}\)
    -
   
        - Montrer que pour \(x \in \mathbb{R}^*\) :
        \[
        f(x) = \frac{1}{1 + \frac{1}{xe^x}}
        \]
        - Calculer les limites :
        \[
        \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1
        \]
        et interpréter géométriquement.

    -
   
        - Montrer que :
        \[
        f'(x) = \frac{(x+1)e^{-x}}{(x+e^{-x})^2}
        \]
        - Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.

    -
   
        - Écrire l'équation de la tangente à \((C)\) en \(O(0,0)\).
        - Vérifier que :
        \[
        x - f(x) = \frac{xg(x)}{g(x)+1}
        \]
        puis étudier le signe de \(x - f(x)\).
        - En déduire la position relative de \((C)\) et de la droite \((\Delta): y = x\).

    - Construire les courbes \((C)\) et \((\Delta)\), en utilisant l’approximation :
    \[
    \frac{1}{1 - e} \approx -0{,}6
    \]

Partie III:

On considère la suite \((u_n)\) définie par :
\[
u_0 = 1, \quad u_{n+1} = f(u_n)
\]

    - Montrer par récurrence que 
    \[
    0 \leq u_n \leq 1
    \]
    pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
    - Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.