Exercice 1 : (3 points)
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère :
- La sphère \((S) : x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + 8 = 0\)
- Le plan \((P) : x - y + 2z + 1 = 0\)
- Démontrer que le centre de \((S)\) est \(\Omega(1,2,3)\) et que son rayon est \(\sqrt{6}\).
- Vérifier que \((P)\) est tangent à \((S)\).
-
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(\Omega\) et orthogonale à \((P)\).
- Déterminer les coordonnées de \(\omega\), point de contact de \((P)\) et \((S)\).
Exercice 2 : (3 points)
-
- Écrire sous forme algébrique le nombre complexe :
\[
3 - 2i^2
\]
- Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation :
\[
z^2 - 2(4+i)z + 10 + 20i = 0
\]
- Dans le plan complexe rapporté à \((O,\vec{u},\vec{v})\), on considère :
\[
A(1+3i), \quad B(7-i), \quad C(5+9i)
\]
- Montrer que
\[
\dfrac{c-a}{b-a} = i
\]
- En déduire que le triangle \(ABC\) est rectangle isocèle.
Exercice 3 : (2,5 points)
- Vérifier que pour tout \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}\) :
\[
\frac{x^2}{x+1} = x - 1 + \frac{1}{x+1}
\]
- Montrer que :
\[
\int_{0}^{2} \frac{x^2}{x+1} \, dx = \ln 3
\]
- Par intégration par parties, montrer que :
\[
\int_{0}^{2} x \ln(x+1) \, dx = \frac{3}{2} \ln 3
\]
Exercice 4 : (2,5 points)
Un sac contient sept jetons portant les nombres : 0, 0, 0, -1, 1, 1, 1 (indiscernables au toucher).
On considère l'expérience suivante : on tire simultanément trois jetons du sac.
- Soient les événements :
- A : ``Aucun jeton tiré ne porte le nombre 0''
- B : ``Trois jetons avec nombres différents deux à deux''
- C : ``Somme des nombres nulle''
Calculer
\[
P(A), \quad P(B), \quad \text{et montrer que } P(C) = \frac{2}{7}
\]
Problème : (9 points)
- Partie I :
On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[
g(x) = e^{-x} + x - 1
\]
- Calculer \(g'(x)\) et en déduire que \(g\) est :
- croissante sur \([0, +\infty[\)
- décroissante sur \(]-\infty, 0]\)
- Montrer que \(g(x) \geq 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et en déduire que :
\[
e^{-x} + x \geq 1
\]
Partie II:
On considère la fonction :
\[
f(x) = \frac{x}{x + e^{-x}}
\]
et \((C)\) sa courbe représentative.
- Montrer que \(D_f = \mathbb{R}\)
-
- Montrer que pour \(x \in \mathbb{R}^*\) :
\[
f(x) = \frac{1}{1 + \frac{1}{xe^x}}
\]
- Calculer les limites :
\[
\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1
\]
et interpréter géométriquement.
-
- Montrer que :
\[
f'(x) = \frac{(x+1)e^{-x}}{(x+e^{-x})^2}
\]
- Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.
-
- Écrire l'équation de la tangente à \((C)\) en \(O(0,0)\).
- Vérifier que :
\[
x - f(x) = \frac{xg(x)}{g(x)+1}
\]
puis étudier le signe de \(x - f(x)\).
- En déduire la position relative de \((C)\) et de la droite \((\Delta): y = x\).
- Construire les courbes \((C)\) et \((\Delta)\), en utilisant l’approximation :
\[
\frac{1}{1 - e} \approx -0{,}6
\]
Partie III:
On considère la suite \((u_n)\) définie par :
\[
u_0 = 1, \quad u_{n+1} = f(u_n)
\]
- Montrer par récurrence que
\[
0 \leq u_n \leq 1
\]
pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
- Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.