Exercice 1 : (3,5 points)}

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère :

- Points \(A(2,0,-1)\), \(B(2,4,2)\), \(C(3,3,3)\)
- Sphère \(S\) : \(x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 4y - 8z + 20 = 0\)

 1. Démontrer que le centre de \(S\) est \(\Omega(2,2,4)\) et son rayon 2. 

 2. Soit \(P\) le plan passant par \(A\) et orthogonal à \((BC)\).
 & Démontrer que \(x - y + z - 1 = 0\) est une équation de \(P\).

3. a) Démontrer que \(P\) coupe \(S\) suivant un cercle \(\Gamma\) de rayon 1.  

 b) Déterminer une représentation paramétrique de \(\Delta\) passant par \(\Omega\)
 & et orthogonale à \(P\).

 c) Déterminer les coordonnées de \(\omega\) centre de \(\Gamma\).

Exercice 2 : (2,5 points)}

Un sac contient 3 jetons blancs et 4 noirs (indiscernables au toucher). On tire simultanément 3 jetons.

1. Probabilité de tirer exactement 2 jetons blancs.  

 2. Probabilité de tirer 3 jetons de même couleur.

3. Probabilité de tirer au moins 1 jeton blanc.  

Exercice 3 : (3 points) 

Soit \((u_n)\) la suite définie par :
\[
u_0 = 2 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{1}{5}(u_n - 4n - 1) \text{ pour } n \in \mathbb{N}.
\]
On pose \(v_n = u_n + n - 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac{1}{5}\).  

2. a) Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).  

 b) En déduire \(u_n\) et calculer \(\lim\limits_{n\to\infty} u_n\).

3. On pose pour \(n \in \mathbb{N}\) :  
 \(T_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_n\)
 \(S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n\)  

Exercice 3 : Suite (3 points) 

 Montrer que :
\(T_n = \frac{1}{4}\left(5 - \frac{1}{5^n}\right)\)  
 et \(S_n = T_n - \frac{(n+1)(n-2)}{2}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Exercice 4 : (3 points)}

 1. Vérifier que : \((\sqrt{2} + 2i)^2 = -2 + 4\sqrt{2}i\).

2. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation :  
  \(z^2 - (\sqrt{2} + 2)z + 2 + \sqrt{2} - \sqrt{2}i = 0\).

On considère les nombres complexes :

- \(z_1 = 1 - i\)
- \(z_2 = 1 + \sqrt{2} + i\)

 a) Déterminer une forme trigonométrique de \(z_1\).

 b) Montrer que \(z_1 z_2 = \sqrt{2}\overline{z_2}\)
  et en déduire que \(\arg(z_1) + 2\arg(z_2) \equiv 0[2\pi]\).

 c) Déterminer un argument de \(z_2\).

Problème : (8 points)

 Partie I : 
Soit \(g\) définie sur \(]0, +\infty[\) par :
\[
g(x) = x - \frac{1}{x} - 2\ln x
\]
1. Montrer que \(g'(x) = \frac{(x-1)^2}{x^2}\) pour \(x > 0\)  
 et en déduire les variations de \(g\).

2. Montrer que :  
 \(\bullet\) \(g(x) \leq 0\) pour \(x \in ]0,1[\)
 \(\bullet\) \(g(x) \geq 0\) pour \(x \in ]1,+\infty[\)
 (rappel : \(g(1) = 0\))

Partie II : 
Soit \(f\) définie par :
\[
f(x) = x + \frac{1}{x} - (\ln x)^2 - 2
\]
et \((C)\) sa courbe représentative dans \((O,\vec{i},\vec{j})\).

 1. a) Montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{(\ln x)^2}{x} = 0\)
 (poser \(t = \sqrt{x}\)) puis calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)\).

 b) Vérifier que \(f\left(\frac{1}{x}\right) = f(x)\) pour \(x > 0\).

 e) Calculer \(\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)\) (poser \(t = \frac{1}{x}\))
et interpréter géométriquement.  

d) Montrer que \((C)\) admet une branche parabolique  
 de direction asymptotique \(y = x\).

 2. Montrer que \(f'(x) = \frac{g(x)}{x}\) pour \(x \in ]0,+\infty[\)
et dresser le tableau de variations de \(f\).  

3. Construire \((C)\) dans \((O,\vec{i},\vec{j})\).  

4. a) Montrer que \(G : x \mapsto x\ln x - x\) est une primitive  
 de \(g : x \mapsto \ln x\) sur \(]0,+\infty[\).

 b) Par intégration par parties, montrer que :
 \(\int_1^e (\ln x)^2 dx = e - 2\).

 c) Déterminer l'aire du domaine délimité par :
 \(\bullet\) \((C)\)
 \(\bullet\) L'axe des abscisses
  \(\bullet\) Les droites \(x=1\) et \(x=e\)