% Exercice 1 - Géométrie dans l'espace
\section*{Exercice 1 – Géométrie dans l'espace (3 points)}
\noindent Dans l'espace rapporté à $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère :
\begin{itemize}
\item les points $A(0,-1,1)$ et $B(1,-1,0)$
\item la sphère $\mathscr{S}$ d'équation :
\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4z + 2 = 0 $
\end{itemize}
\begin{enumerate}[label=\arabic*.]
\item Montrer que le centre de $\mathscr{S}$ est $\Omega(1,0,2)$ et que son rayon est $\sqrt{3}$. Vérifier que $A \in \mathscr{S}$.
\item Déterminer $\vec{OA} \wedge \vec{OB}$ et montrer que l'équation $x + y + z = 0$ est une équation du plan $(OAB)$.
\item Montrer que le plan $(OAB)$ est tangent à la sphère $\mathscr{S}$ en $A$.
\end{enumerate}
% Exercice 2 - Nombres complexes
\section*{Exercice 2 – Nombres complexes (3 points)}
\begin{enumerate}[label=\arabic*.]
\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 - 6z + 34 = 0$.
\item Dans le plan complexe $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$, on considère :
\[ A(3+5i), \quad B(3-5i), \quad C(7+3i) \]
Soit $M(z)$ et $M'(z')$ les images par la translation de vecteur $\vec{u} = 4 - 2i$.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Montrer que $z' = z + 4 - 2i$ et que $C = T(A)$.
\item Montrer que $\dfrac{b - c}{a - c} = 2i$.
\item En déduire que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ et que $BC = 2AC$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
% Exercice 3 - Probabilités
\section*{Exercice 3 – Probabilités (3 points)}
\noindent Une urne contient 6 boules rouges et 3 boules vertes indiscernables.
\begin{enumerate}[label=\arabic*.]
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Calculer la probabilité de tirer 2 rouges et 1 verte.
\item Montrer que $P(\text{au moins une verte}) = \dfrac{16}{21}$.
\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité de tirer 3 rouges successivement sans remise.
\end{enumerate}
% Problème - Analyse
\section*{Problème – Analyse (11 points)}
\subsection*{Partie I : Étude de la fonction $g(x) = x - 2 \ln x$}
\noindent $g$ est définie sur $]0, +\infty[$.
\begin{enumerate}[label=\arabic*.]
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Calculer $g'(x)$.
\item Montrer que $g$ est décroissante sur $]0,2]$ et croissante sur $[2,+\infty[$.
\end{enumerate}
\item En déduire que $g(x) > 0$ pour tout $x \in ]0,+\infty[$.
\end{enumerate}
\subsection*{Partie II : Étude de $f(x) = x - (\ln x)^2$}
\noindent $f$ est définie sur $]0, +\infty[$. Soit $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
\begin{enumerate}[label=\arabic*.]
\item Calculer $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$ et interpréter géométriquement ce résultat.
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Montrer que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{x} = 0$ (on pourra poser $t = \sqrt{x}$).
\item En déduire que :
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 \]
\item Calculer $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (f(x) - x)$ et en déduire que $(C)$ admet une branche parabolique de direction la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x$.
\item Montrer que la courbe $(C)$ est en dessous de la droite $(\Delta)$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}$ et que $f$ est strictement croissante.
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Montrer que la tangente à $(C)$ au point d'abscisse 1 a pour équation $y = x$.
\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $[0, +\infty[$ et que :
\[ \frac{1}{e} < \alpha < \frac{1}{2} \]
(on admet que $(\ln 2)^2 < \frac{1}{2}$).
\item Tracer la droite $(\Delta)$ et la courbe $(C)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$.
(on admet que le point $I(e,e-1)$ est un point d'inflexion et que $e \approx 2{,}7$).
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Montrer que $H(x) = x\ln x - x$ est une primitive de $\ln x$ sur $[1, +\infty[$, puis que :
\[ \int_1^e \ln x \, dx = 1 \]
\item En utilisant une intégration par parties, montrer que :
\[ \int_1^e (\ln x)^2 \, dx = e - 2 \]
\item Calculer l'aire du domaine plan délimité par :
\begin{itemize}
\item la courbe $(C)$,
\item la droite $(\Delta)$,
\item les droites d'équations $x = 1$ et $x = e$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{Partie III : Étude de la suite $(u_n)$}
\noindent La suite est définie par :
\[ u_0 = 2, \quad u_{n+1} = f(u_n) \]
\begin{enumerate}[label=\arabic*.]
\item Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $1 \leq u_n \leq 2$.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
\item En déduire que $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
\end{enumerate}
\end{document}