\[ \boxed{Mathématiques - Certificat du Cycle Collégial : Saison 2021} \]

Exercice 1 :

1) Résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'équation :
\[ 2x + 5 = 3x - 1 \]
\[ (4 - 2x)(3x + 2) = 0 \]

2) Résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'inéquation :
\[ 5x + 1 \leq 7 - x \]

3) Considérons l'inéquation :

    - Déterminer la longueur de l'inéquation dans l'ensemble des nombres réels.
    - Déterminer la longueur de l'inéquation dans l'ensemble des nombres entiers naturels.
    - Le périmètre d'un triangle est égal à 16 centimètres, et les longueurs de ses côtés sont :
    \[ x + 1, \quad y + 2x + 3 \]
    - Déterminer la longueur de chaque côté du triangle.

Exercice 2 :

1) Résoudre algébriquement le système :
\[ 
\begin{cases} 
2a + 9 = 7b \\ 
3b - a - 1 = 0 
\end{cases}
\]
où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels.

2) Dans un petit village, on observe que :

    - Le triple du nombre d'hommes non vaccinés dépasse le nombre de femmes non vaccinées d'une personne.
    - Le septuple du nombre d'hommes non vaccinés dépasse le double du nombre de femmes non vaccinées de 9 personnes.

Déterminer la somme du nombre d'hommes et de femmes non vaccinés dans ce village.

3) Dans le plan muni d'un repère orthonormé, considérons les droites :
\[ (D): y = -x + 2 \]
\[ (A): y = 2x - 1 \]
et
\[ (D): y = 2x - 1 \]

a) Tracer les droites (D) et (A) et déterminer graphiquement les coordonnées du point A, leur point d'intersection.

b) Vérifier que les coordonnées du point A sont solution du système :
\[ 
\begin{cases} 
x + y = 2 \\ 
2x - y = 1 
\end{cases}
\]

Exercice 3 :

1) Soit un triangle et \( t \) la translation qui transforme le point B en point A, et I le milieu du segment [AC].
\[ AD = BC \]

a) Construire le point D, image du point C par la translation \( t \), puis montrer que :
\[ [BD] = BD \]

b) Montrer que :
\[ I = CB \]

c) Soit le point E tel que :
\[ IE = CD \]
Déterminer l'image du triangle BC par la translation \( t \).

Exercice 4:

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \) (on considère les points \( A \), \( B \) et \( C \) représentés dans la figure ci-contre), et soit \( I \) le milieu du segment \( [BC] \).

    - Vérifiez que les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{AB} \) sont \( (2; 2) \) 
    et que les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{BC} \) sont \( (-4; 4) \). 
    Montrez ensuite que :
    \[
    AB = BI
    \]
    
    - Montrez que :
    \[
    y = -x + 4
    \]
    
    - Montrez que les droites \( (AB) \) et \( (BC) \) sont perpendiculaires.
    
    - Montrez que \( OABI \) est un carré.

Correction Mathématiques - Certificat du Cycle Collégial : Saison 2021

Exercice 1:

- Résolution des équations:

- a)} \(2x + 5 = 3x - 1\)
\begin{align*}
2x + 5 &= 3x - 1 \\
5 + 1 &= 3x - 2x \\
6 &= x
\end{align*}
\(x = 6\)

- b)} \((4 - 2x)(3x + 2) = 0\)
\begin{align*}
(4 - 2x)(3x + 2) &= 0 \\
\text{Soit } 4 - 2x = 0 &\Rightarrow x = 2 \\
\text{Soit } 3x + 2 = 0 &\Rightarrow x = -\dfrac{2}{3}
\end{align*}
\(x = 2\) ou \(x = -\dfrac{2}{3}\)

Résolution de l'inéquation: 

\[
5x + 1 \leq 7 - x
\]
\begin{align*}
5x + x &\leq 7 - 1 \\
6x &\leq 6 \\
x &\leq 1
\end{align*}
\(x \leq 1\)

- Problème du triangle: 

   -Périmètre : \(x + 1,\ y,\ 2x + 3\)
   -Somme : \(x + 1 + y + 2x + 3 = 16\)

\begin{align*}
y &= 16 - (x + 1 + 2x + 3) \\
y &= 16 - 3x - 4 = 12 - 3x
\end{align*}

Les longueurs sont : } \(x + 1,\ 12 - 3x,\ 2x + 3\)

Exercice 2: 

Résolution du système:

\[
\begin{cases}
2a + 9 = 7b \\
3b - a - 1 = 0
\end{cases}
\]

\begin{align*}
\text{De la 2{ème} équation : } a &= 3b - 1 \\
\text{Substitution dans la 1{ère} : } 2(3b - 1) + 9 &= 7b \\
6b - 2 + 9 &= 7b \\
6b + 7 &= 7b \\
b &= 7 \\
a &= 3 \times 7 - 1 = 20
\end{align*}
\(a = 20,\ b = 7\)

- Problème du village: 

   -Soit \(x =\) hommes, \(y =\) femmes
   -\(3x = y + 1 \Rightarrow y = 3x - 1\)
   -\(7x = 2y + 9\)

Substitution :
\begin{align*}
7x &= 2(3x - 1) + 9 \\
7x &= 6x - 2 + 9 = 6x + 7 \\
x &= 7 \\
y &= 3 \times 7 - 1 = 20
\end{align*}

\(x + y = 27\)

- 3) Droites (D) et (A) 

   -\(D : y = -x + 2,\quad A : y = 2x - 1\)
   -Point d'intersection :}

\begin{align*}
-x + 2 &= 2x - 1 \\
3x &= 3 \Rightarrow x = 1 \\
y &= 2 \times 1 - 1 = 1
\end{align*}
Coordonnées du point A :  \((1,1)\)

Vérification :  \(x + y = 2,\quad 2x - y = 1\) \Rightarrow \text{vérifié}

Exercice 3: 

   -Soit une translation \(t\) telle que \(t(B) = A\)
   -\(D\) est l'image de \(C\) : \(\vec{CD} = \vec{AB}\)
   -Donc \(BD\) est un segment de même longueur que \(AB\)
   -Si \(I\) est le milieu de \([AC]\), alors \(\vec{AI} = \vec{IC}\)
   -Soit \(E\) tel que \(\vec{IE} = \vec{CD} \Rightarrow E\) est l'image de \(C\)

Exercice 4: 

   -Soit \(A(0,0),\ B(2,2),\ C(-2,6)\)
   -\(\vec{AB} = (2,2),\quad \vec{BC} = (-4,4)\)
   -\(AB = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2},\quad BI = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2}\)
   -\(I = \left(\frac{2 + (-2)}{2}, \frac{2 + 6}{2}\right) = (0,4)\)
   -Équation de \(BC\) : \(y = -x + 4\)
   -Pente de \(AB = 1\), pente de \(BC = -1\) \Rightarrow produit = -1 \Rightarrow droites perpendiculaires

Conclusion : Si \(AB = BI\), angles droits et côtés égaux , \(OABI\) est un carré