Exercice 1
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((0, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère deux plans \((P)\) et \((P')\) ayant respectivement pour équations :
\[
(P): 2x - 3y + z + 1 = 0 \quad \text{et} \quad (P'): 2x + 3y - z + 2 = 0
\]
et la droite \((D)\) qui passe par le point \(A(0, -1, -4)\) et ayant \(\vec{u}(1, -1, 2)\) comme vecteur directeur.
- Propositions
1) Les plans \((P)\) et \((P')\) sont orthogonaux.
2) La droite \((D)\) est incluse dans le plan \((P)\).
3) \(d(A, (P)) = \frac{1}{\sqrt{14}}\).
4) Le point \(A\) appartient au cercle de centre \(\Omega(2, 0, -2)\) et de rayon 3.
- Solutions
1) Faux. Les plans ne sont pas orthogonaux car leurs vecteurs normaux ne sont pas orthogonaux.
2) Faux. La droite \((D)\) n'est pas incluse dans le plan \((P)\).
3)Vrai. La distance du point \(A\) au plan \((P)\) est bien \(\frac{1}{\sqrt{14}}\).
4) Faux. Le point \(A\) n'appartient pas au cercle de centre \(\Omega(2, 0, -2)\) et de rayon 3.
Exercice 2
On considère la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}^*\) par :
\[
f(x) = x^2 e^{x}
\]
- Propositions
1) \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
2) \(\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty\).
3) La courbe \((C_f)\) possède une asymptote oblique au voisinage de \(+\infty\).
4) \(f'(x) = (2x - 1)e^{x}\).
5) L’équation \(f(x) - f(x) = 0\) admet une solution unique dans \(\mathbb{R}^*\).
Solutions
1)Vrai. La limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) est \(+\infty\).
2) Faux. La limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers 0 est 0.
3) Faux. La courbe \((C_f)\) ne possède pas d'asymptote oblique.
4) Faux. La dérivée de \(f(x)\) est \(f'(x) = (2x + x^2)e^{x}\).
5) Faux. L’équation \(f(x) - f(x) = 0\) admet une infinité de solutions.
Exercice 3
Soient \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) et \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) deux suites numériques définies par :
\[
3u_{n+1} - 2u_n + 1 = 0 \quad \text{et} \quad u_0 = 0
\]
et
\[
v_n = u_{n+1} - u_n \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}.
\]
- Propositions
1) La monotonie de \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) :
a. croissante
b. décroissante
c. non monotone
2) La nature de \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) :
a. arithmétique de raison \(\frac{2}{3}\)
b. géométrique de raison \(\frac{2}{3}\)
c. géométrique de raison \(\frac{3}{2}\)
d. arithmétique de raison \(\frac{3}{2}\)
3) \(\lim_{n \to \infty} v_n = 0\)
b. \(\lim_{n \to \infty} v_n = \frac{2}{3}\)
c. \(\lim_{n \to \infty} v_n = \frac{3}{2}\)
4) \(\lim_{n \to \infty} u_n = 1\)
b. \(\lim_{n \to \infty} u_n = -1\)
c. \(\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{3}{2}\)
- Solutions
1) a. croissante}.
2) b. géométrique de raison \(\frac{2}{3}\)}.
3) a. \(\lim_{n \to \infty} v_n = 0\)}.
4) c. \(\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{3}{2}\)}.
Exercice 4
Dans l’ensemble des élèves d’un Lycée, 45% pratiquent le football, 80% pratiquent la natation et 30% pratiquent les deux disciplines sportives. On choisit au hasard un élève.
- Propositions
1) La probabilité pour que l’élève ne pratique pas le football est :
a. 0.45
b. 0.55
c. 0.3
d. 0.58
2) La probabilité pour que l’élève pratique le football ou la natation est :
a. 1
b. 0.70
c. 0.95
d. 0.80
3) La probabilité pour que l’élève ne pratique aucune des deux disciplines est :
a. 0.05
b. 0
c. 0.95
d. 0.10
4) La probabilité pour qu’il pratique le football et non la natation est :
a. 0.25
b. 0.05
c. 0.3
d. 0.15
- Solutions
1) b. 0.55}.
2) c. 0.95}.
3) a. 0.05}.
4) d. 0.15}.
