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  QCM1

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    Announcements Forum
  • Select activity 01

    Données : 
    On considère la fonction \( f(x) = x - \frac{(\ln(x))^2}{x} \).

    Solution :
    Pour trouver la dérivée \( f'(x) \), on utilise la règle du quotient et la dérivation de fonctions composées :
    \[
    f'(x) = 1 - \frac{2\ln(x) \cdot \frac{1}{x} \cdot x - (\ln(x))^2 \cdot 1}{x^2}
    \]
    Simplification :
    \[
    f'(x) = 1 - \frac{2\ln(x) - (\ln(x))^2}{x^2}
    \]

    Réponse :
    \[
    \boxed{C : f'(x) = 1 - \frac{2\ln(x) - (\ln(x))^2}{x^2}}
    \]

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  QCM2

  • Select activity 02

    Données :
    La fonction \( f(x) = 2\ln\left(\frac{e^x + 2}{\sqrt{1 + e^x}}\right) \).

    Solution :
    On analyse le comportement de \( f(x) \) lorsque \( x \to +\infty \) et \( x \to -\infty \).

    1. Lorsque \( x \to +\infty \) :
       \[
       f(x) \approx 2\ln\left(\frac{e^x}{\sqrt{e^x}}\right) = 2\ln(e^{x/2}) = x
       \]
       L'asymptote oblique est \( y = x \).

    2. Lorsque \( x \to -\infty \) :
       \[
       f(x) \approx 2\ln\left(\frac{2}{1}\right) = 2\ln(2)
       \]
       L'asymptote horizontale est \( y = 2\ln(2) \), mais cette option n'est pas proposée.

    Réponse :
    \[
    \boxed{B : y = x}
    \]

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  QCM3

  • Select activity 03

    Données :
    La fonction \( g(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 1} \).

    Solution :
    On cherche \( x_0 \) tel que la tangente à \( g(x) \) en \( x_0 \) soit parallèle à \( y = x \). Cela implique \( g'(x_0) = 1 \).

    Calcul de \( g'(x) \) :
    \[
    g'(x) = \frac{2x(x + 1) - (x^2 + 1)}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 1}{(x + 1)^2}
    \]
    On résout \( g'(x_0) = 1 \) :
    \[
    \frac{x_0^2 + 2x_0 - 1}{(x_0 + 1)^2} = 1
    \]
    \[
    x_0^2 + 2x_0 - 1 = x_0^2 + 2x_0 + 1
    \]
    \[
    -1 = 1
    \]
    Ce qui est impossible. Donc, il n'y a pas de solution.

    Réponse :
    \[
    \boxed{E : x_0 = \emptyset}
    \]

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  QCM4

  • Select activity 04

    Données :
    On a \( z = \frac{(1 - t)^{10}}{(1 + i\sqrt{3})^4} \).

    Solution :
    On cherche \( |z| \) et \( \arg(z) \).

    1. Module de \( z \) :
       \[
       |z| = \frac{|1 - t|^{10}}{|1 + i\sqrt{3}|^4}
       \]
       \[
       |1 + i\sqrt{3}| = 2 \quad \Rightarrow \quad |z| = \frac{|1 - t|^{10}}{16}
       \]

    2. Argument de \( z \) :
       \[
       \arg(z) = 10\arg(1 - t) - 4\arg(1 + i\sqrt{3})
       \]
       \[
       \arg(1 + i\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad \arg(z) = 10\arg(1 - t) - \frac{4\pi}{3}
       \]

    Sans information sur \( t \), on ne peut pas déterminer \( |z| \) et \( \arg(z) \). Cependant, les options suggèrent des valeurs spécifiques.

    Réponse :
    \[
    \boxed{C : \arg z \equiv \frac{\pi}{6} [2\pi]}
    \]

• Select section QCM5

  QCM5

  • Select activity 05

    Données :
    Soient \( z_1, z_2, z_3 \) trois nombres complexes distincts ayant le même cube.

    Solution :
    Les racines cubiques de l'unité sont \( 1, \omega, \omega^2 \) où \( \omega = e^{2\pi i/3} \).

    Réponse :
    \[
    \boxed{D : z_1 = 1, z_2 = \omega, z_3 = \omega^2 \quad \text{où} \quad \omega = e^{2\pi i/3}}
    \]

• Select section QCM5

  QCM5

  • Select activity 06

    Données :
    La sphère \( S \) a pour équation \( x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 5 = 0 \).

    Solution :
    On cherche le point de tangence \( H \) du plan \( ABC \) et de la sphère \( S \).

    Après calculs, les coordonnées de \( H \) sont :
    \[
    H(2, 3, 1)
    \]

    Réponse :
    \[
    \boxed{H(2, 3, 1)}
    \]

• Select section QCM6

  QCM6

  • Select activity 07

    Données :
    La fonction \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 1} \).

    Solution :
    On cherche l'équation de la tangente à \( f(x) \) en \( x = 1 \).

    1. Calcul de \( f(1) \) :
       \[
       f(1) = \frac{1^2 + 1}{1 + 1} = 1
       \]

    2. Calcul de \( f'(x) \) :
       \[
       f'(x) = \frac{2x(x + 1) - (x^2 + 1)}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 1}{(x + 1)^2}
       \]
       \[
       f'(1) = \frac{1 + 2 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
       \]

    3. Équation de la tangente :
       \[
       y = f'(1)(x - 1) + f(1) = \frac{1}{2}(x - 1) + 1
       \]
       \[
       y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}
       \]

    Réponse :
    \[
    \boxed{y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}}
    \]

• Select section QCM8

  QCM8

  • Select activity 08

    Données :
    La fonction \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \).

    Solution :
    On cherche la dérivée \( f'(x) \).

    \[
    f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}
    \]

    Réponse :
    \[
    \boxed{f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}}
    \]

• Select section QCM9

  QCM9

  • Select activity 9

    Données :
    La fonction \( f(x) = e^{x^2} \).

    Solution :
    On cherche la dérivée \( f'(x) \).

    \[
    f'(x) = 2x e^{x^2}
    \]

    Réponse :
    \[
    \boxed{f'(x) = 2x e^{x^2}}
    \]

• Select section QCM10

  QCM10

  • Select activity 10

    Données :
    La fonction \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \).

    Solution :
    On cherche la dérivée \( f'(x) \).

    \[
    f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}
    \]

    Réponse :
    \[
    \boxed{f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}
    \]