Série moyenne - Tronc commun Sciences BIOF

Démonstration vectorielle
⭐⭐ Moyen
📌 Énoncé

Soit \(ABCD\) un parallélogramme de centre \(O\). Soit \(M\) un point quelconque du plan.

Montrer que :

\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MO} \]
✅ Corrigé

On sait que \(O\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\).

Donc : \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MO}\)

et \(\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MO}\)

En additionnant : \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MO}\)

Théorème de Thalès vectoriel
⭐⭐ Moyen
📌 Énoncé

Soit \(ABC\) un triangle. \(M\) est un point de \([AB]\) et \(N\) un point de \([AC]\) tels que :

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{2}{3} \]

Exprimer \(\overrightarrow{MN}\) en fonction de \(\overrightarrow{BC}\). Que peut-on conclure ?

✅ Corrigé

On a : \(\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)

\[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} \]
\[ \overrightarrow{MN} = \frac{2}{3}(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} \]

Donc \((MN) \parallel (BC)\) (Théorème de Thalès vectoriel).

Points alignés
⭐⭐ Moyen
📌 Énoncé

Soit \(ABC\) un triangle. On définit les points \(E\) et \(F\) par :

\[ \overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{AC} \]

Montrer que les points \(E, C, F\) sont alignés.

✅ Corrigé

Exprimons \(\overrightarrow{EC}\) et \(\overrightarrow{EF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :

\[ \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AC} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \]
\[ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} \]

On remarque que \(\overrightarrow{EF} = 3\overrightarrow{EC}\), donc les vecteurs sont colinéaires.

Les points \(E, C, F\) sont alignés.

Centre de gravité
⭐⭐ Moyen
📌 Énoncé

Soit \(ABC\) un triangle. Soit \(G\) le centre de gravité de \(ABC\).

Démontrer que pour tout point \(M\) du plan :

\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG} \]
✅ Corrigé

On a : \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}\)

\(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}\)

\(\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC}\)

En additionnant : \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC})\)

Or \(G\) est le centre de gravité, donc \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\)

\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG} \]
Projection et parallélisme
⭐⭐ Moyen
📌 Énoncé

Soit \(ABC\) un triangle. Soit \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([AC]\).

La parallèle à \((BC)\) passant par \(I\) coupe \((AC)\) en \(K\).

Montrer que \(K\) est le milieu de \([AC]\).

✅ Corrigé

\((IK) \parallel (BC)\) et \(I\) est le milieu de \([AB]\)

D'après le théorème de Thalès, dans le triangle \(ABC\) :

\[ \frac{AI}{AB} = \frac{AK}{AC} = \frac{1}{2} \]

Donc \(AK = \frac{1}{2}AC\), ce qui signifie que \(K\) est le milieu de \([AC]\).

Détermination de points
⭐⭐⭐ Moyen+
📌 Énoncé

Soit \(ABC\) un triangle. Déterminer les points \(M\) et \(N\) tels que :

\[ \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} \]
\[ \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC} \]

Exprimer \(\overrightarrow{MN}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

✅ Corrigé

Pour \(M\) : \(\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\)

Pour \(N\) : \(\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + 3(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) = -2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}\)

Exprimons \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN}\)

\[ \overrightarrow{MN} = -(2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{AB} + (-2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}) \]
\[ \overrightarrow{MN} = -2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} \]
\[ \overrightarrow{MN} = -3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} \]

Last modified: Wednesday, 10 June 2026, 12:34 PM