متطلبات الإكمال
Série moyenne - Tronc commun Sciences BIOF
Démonstration vectorielle
⭐⭐ Moyen📌 Énoncé
Soit \(ABCD\) un parallélogramme de centre \(O\). Soit \(M\) un point quelconque du plan.
Montrer que :
\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MO} \]
✅ Corrigé
On sait que \(O\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\).
Donc : \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MO}\)
et \(\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MO}\)
En additionnant : \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MO}\)
Théorème de Thalès vectoriel
⭐⭐ Moyen📌 Énoncé
Soit \(ABC\) un triangle. \(M\) est un point de \([AB]\) et \(N\) un point de \([AC]\) tels que :
\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{2}{3} \]
Exprimer \(\overrightarrow{MN}\) en fonction de \(\overrightarrow{BC}\). Que peut-on conclure ?
✅ Corrigé
On a : \(\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)
\[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} \]
\[ \overrightarrow{MN} = \frac{2}{3}(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} \]
Donc \((MN) \parallel (BC)\) (Théorème de Thalès vectoriel).
Points alignés
⭐⭐ Moyen📌 Énoncé
Soit \(ABC\) un triangle. On définit les points \(E\) et \(F\) par :
\[ \overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{AC} \]
Montrer que les points \(E, C, F\) sont alignés.
✅ Corrigé
Exprimons \(\overrightarrow{EC}\) et \(\overrightarrow{EF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :
\[ \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AC} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \]
\[ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} \]
On remarque que \(\overrightarrow{EF} = 3\overrightarrow{EC}\), donc les vecteurs sont colinéaires.
Les points \(E, C, F\) sont alignés.
Centre de gravité
⭐⭐ Moyen📌 Énoncé
Soit \(ABC\) un triangle. Soit \(G\) le centre de gravité de \(ABC\).
Démontrer que pour tout point \(M\) du plan :
\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG} \]
✅ Corrigé
On a : \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}\)
\(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}\)
\(\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC}\)
En additionnant : \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC})\)
Or \(G\) est le centre de gravité, donc \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\)
\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG} \]
Projection et parallélisme
⭐⭐ Moyen📌 Énoncé
Soit \(ABC\) un triangle. Soit \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([AC]\).
La parallèle à \((BC)\) passant par \(I\) coupe \((AC)\) en \(K\).
Montrer que \(K\) est le milieu de \([AC]\).
✅ Corrigé
\((IK) \parallel (BC)\) et \(I\) est le milieu de \([AB]\)
D'après le théorème de Thalès, dans le triangle \(ABC\) :
\[ \frac{AI}{AB} = \frac{AK}{AC} = \frac{1}{2} \]
Donc \(AK = \frac{1}{2}AC\), ce qui signifie que \(K\) est le milieu de \([AC]\).
Détermination de points
⭐⭐⭐ Moyen+📌 Énoncé
Soit \(ABC\) un triangle. Déterminer les points \(M\) et \(N\) tels que :
\[ \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} \]
\[ \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC} \]
Exprimer \(\overrightarrow{MN}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
✅ Corrigé
Pour \(M\) : \(\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\)
Pour \(N\) : \(\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + 3(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) = -2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}\)
Exprimons \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN}\)
\[ \overrightarrow{MN} = -(2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{AB} + (-2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}) \]
\[ \overrightarrow{MN} = -2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} \]
\[ \overrightarrow{MN} = -3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} \]
آخر تعديل: الأربعاء، 10 يونيو 2026، 12:34 PM