Exercice
a) Écrivons sous la forme \( \sqrt{ } \) chacun des réels suivants :
\[
\sqrt{27} = \sqrt{3} \times 9 = 3\sqrt{3} \quad \sqrt{27} = 3\sqrt{3}
\]
\[
\sqrt{48} = \sqrt{16} \times 3 = 4\sqrt{3} \quad \sqrt{48} = 4\sqrt{3}
\]
\[
\sqrt{320} = \sqrt{64} \times 5 = 8\sqrt{5} \quad \sqrt{320} = 8\sqrt{5}
\]
\[
\sqrt{144} = \sqrt{12} \times 12 = 12 \quad \sqrt{144} = 12
\]
\[
\sqrt{120} = \sqrt{4} \times 30 = 2\sqrt{30} \quad \sqrt{120} = 2\sqrt{30}
\]
\[
\sqrt{720} = \sqrt{144} \times 5 = 12\sqrt{5} \quad \sqrt{720} = 12\sqrt{5}
\]
Exercice
Rendons irréductibles les résultats des opérations suivantes :
\[
\sqrt{5} \times \sqrt{6} = \sqrt{5 \times 6}
\]
\[
-\sqrt{12} \times \sqrt{18} = -\sqrt{36} \times 6
\]
\[
2\sqrt{5} \times 5\sqrt{2} = (2 \times 5)\sqrt{5} \times 2
\]
\[
-3\sqrt{3} \times 2\sqrt{2} = -6\sqrt{3} \times 2
\]
\[
5\sqrt{6} \times \sqrt{7} = 5\sqrt{6} \times 7
\]
\[
-\sqrt{14} \times 7\sqrt{10} = -7\sqrt{4} \times 35
\]
Exercice
Avec \( A = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{2} \) et \( B = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \)
1. Effectuons les opérations :
\[
A + B = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} = \sqrt{3}(3 + 3)
\]
\[
A - B = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{2} = \sqrt{2}(2 + 2)
\]
\[
A \cdot B = (3\sqrt{3} + 2\sqrt{2}) (3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}) = 3\sqrt{3} \times 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}
\]
\[
A \cdot B = 27 - 8 = 19
\]
\[
A^2 = (3\sqrt{3} + 2\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{3} + 2\sqrt{2}) (3\sqrt{3} + 2\sqrt{2})
\]
\[
A^2 = 27 + 12\sqrt{6} + 8
\]
\[
B^2 = (3\sqrt{3} - 2\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}) (3\sqrt{3} - 2\sqrt{2})
\]
\[
B^2 = 27 - 12\sqrt{6} + 8
\]
2. Rendons rationnel le dénominateur du réel \( x = \frac{A}{B} \)
En remarquant que \( A \) et \( B \) sont deux expressions conjuguées, \( x \) peut s’écrire :
\[
x = \frac{A}{B} = \frac{A^2}{A \cdot B} = \frac{35 + 12\sqrt{6}}{19}
\]
3. Calculons le réel \( y = -18 + x + \frac{3}{19} - \frac{12\sqrt{6}}{19} \)
Remplaçons \( x \) par sa valeur ci-dessus, nous avons :
\[
y = -18 + \frac{35 + 12\sqrt{6}}{19} + \frac{3}{19} - \frac{12\sqrt{6}}{19}
\]
\[
y = -18 + \frac{38}{19}
\]
\[
y = -16
\]
Exercice
Calculons les dimensions de la surface rectangulaire à bâtir.
Soit \( A \) l’aire du rectangle, \( L \) sa longueur et \( I \) sa largeur, on a :
\[
A = L \times I \quad \text{et} \quad L = 2I \Longrightarrow A = 2I \times I = 2I^2
\]
\[
2I^2 = A \Longrightarrow I = \sqrt{\frac{A}{2}} \quad \text{Pour } A = 1512,6 \, m^2, I = \sqrt{\frac{1512,6}{2}}
\]
soit \( I \simeq 27,5 \, m \)
\[
L = 2I \Longrightarrow L = 27,50 \times 2, \quad \text{soit } L \simeq 55 \, m
\]
Exercice
1. Calculons la longueur du côté du carré
L'aire du carré est \( A = c^2 \)où c désigne la longueur du côté :
\[
A = c^2 \implies c = \sqrt{A}
\]
Pour \( A = 12,25 \, \text{dm}^2 \),
\[
c = \sqrt{12,25}, \quad \text{soit} \quad c = 3,5 \, \text{dm}
\]
2. Calculons le rayon de ce cercle
L'aire A du disque associé à un cercle de rayon R est telle que :
\[
A = \pi R^2 \implies R = \sqrt{\frac{A}{\pi}}
\]
Pour \( A = 40,6944 \, \text{m}^2 et \pi = 3,14 \) :
\[
R = \sqrt{\frac{40,6944}{3,14}}, \quad \text{soit} \quad R = 3,6 \, \text{m}
\]
3. Calculons le rayon de base de ce cylindre
Un cylindre de rayon de base r et de hauteur h a pour volume :
\[
V = \pi r^2 h \implies r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}
\]
Pour \( V = 23 079 \, \text{mm}^3 , h = 1,5 \, \text{dm} = 150 \, \text{mm} et \pi = 3,14 \):
\[
r = \sqrt{\frac{23 079}{3,14 \times 150}}, \quad \text{soit} \quad r = 7 \, \text{mm}
\]
Exercice
1. Écrivons l’inverse de a puis rendons rationnel son dénominateur
\[
a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \implies \frac{1}{a} = \frac{2}{1+\sqrt{5}}
\]
Rationalisons :
\[
\frac{1}{a} = \frac{2}{1+\sqrt{5}} \times \frac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}} = \frac{2(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}
\]
\[
= \frac{2(1-\sqrt{5})}{1 - 5} = \frac{2(1-\sqrt{5})}{-4} = \frac{\sqrt{5} -1}{2}
\]
\[
\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{5} -1}{2}
\]
2. Comparons l’inverse de \( a \ ; a-1 \)
\[
a - 1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} -1 = \frac{1+\sqrt{5} -2}{2} = \frac{\sqrt{5} -1}{2}
\]
\[
\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{5} -1}{2} \implies a - 1 = \frac{1}{a}
\]
3. Démontrons que \( a^2 = a + 1 \)
\[
\frac{1}{a} = a - 1 \quad \text{(résultat précédent)}
\]
\[
\frac{1}{a} = a - 1 \implies 1 = a(a - 1) = a^2 - a
\]
\[
1 = a^2 - a \implies a^2 = a + 1
\]
\[
\text{d'où } a^2 = a + 1
\]
