On considère l’expression \( (E) \) définie par :
\[
\boxed{ (E) : x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = 0 }
\]
1.}
* *a.}
Montrer que si \( a \) est solution de l’équation \( (E) \), alors \( \frac{1}{a} \) l’est aussi.
* *b.}
Montrer que l’équation \( (E) \) est équivalente à l’équation :
\[ (E') : x^2 - 3x + 4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} = 0 \]
2.}
* *a.}
Développer l’expression suivante :
\[ \left( x + \frac{1}{x} - 1 \right) \left( x + \frac{1}{x} - 2 \right) \]
* *b.}
En utilisant le changement de variable \( X = x + \frac{1}{x} \), modifier l’équation \( (E') \) en une équation du second degré en \( X \).
* *c.}
Résoudre l’équation en \( X \) obtenue à la question précédente.
* *d.}
En déduire les valeurs de \( x \) solution de \( (E') \).
3.}
Donner l’ensemble des solutions de l’équation \( (E) \).
1.}
* *a.}
Soit \( a \) une solution de l’équation \( (E) \). En remarquant que \( 0 \) n’est pas une solution de l’équation, on en déduit que \( a \) est un nombre réel non-nul.
Évaluons le membre de l’équation \( (E) \) pour la valeur \( \frac{1}{a} \) :
\[
x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = \left( \frac{1}{a} \right)^4 - 3 \left( \frac{1}{a} \right)^3 + 4 \left( \frac{1}{a} \right)^2 - 3 \left( \frac{1}{a} \right) + 1
\]
\[
= \frac{1}{a^4} - 3 \cdot \frac{1}{a^3} + 4 \cdot \frac{1}{a^2} - 3 \cdot \frac{1}{a} + 1
\]
\( a \) est non-nul, factorisons par \( \frac{1}{a^4} \), on a :
\[
= \frac{1}{a^4} \left( 1 - 3a + 4a^2 - 3a^3 + a^4 \right)
\]
Le nombre \( a \) est solution de l’équation \( (E) \) :
\[
= \frac{1}{a^4} \times 0 = 0
\]
* *b.}
On a vu que \( 0 \) n’est pas une solution de l’équation \( (E) \).
On considère l’équation \( (E) \) sur \( \mathbb{R}^* \) :
\[
x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = 0
\]
Divisons par \( x^2 \) les deux membres de l’équation :
\[
\frac{x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 3x + 1}{x^2} = \frac{0}{x^2} \]
\[
x^2 - 3x + 4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} = 0\]
2.}
* *a.}
On a le développement suivant :
\[
\left( x + \frac{1}{x} - 1 \right) \left( x + \frac{1}{x} - 2 \right) = x^2 + 1 - 2x + 1 + \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} - \frac{1}{x} + 2
\]
\[
= x^2 - 3x + 4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}
\]
* *b.}
Le résultat de la question précédente permet d’identifier l’équation \( (E') \) :
\[
x^2 - 3x + 4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} = 0\]
\[
\left( x + \frac{1}{x} - 1 \right) \left( x + \frac{1}{x} - 2 \right) = 0\]
Par le changement de variable \( X = x + \frac{1}{x} \) :
\[
(X - 1)(X - 2) = 0\]
\[
X^2 - 3X + 2 = 0\]
* *c.}
Le polynôme \( X^2 - 3X + 2 \) admet pour discriminant :
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 9 - 8 = 1
\]
Le discriminant de ce polynôme étant strictement positif, ce polynôme admet les deux racines suivantes :
\[
X_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) - 1}{2 \times 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1
\]
\[
X_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) + 1}{2 \times 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2
\]
* *d.}
On a les deux études à mener :
La valeur \( X_1 = 1 \) amène à résoudre l’équation suivante :
\[
X_1 = 1 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x + \frac{1}{x} - 1 = 0 \Rightarrow x^2 + 1 - x = 0
\]
Si un quotient est nul si son numérateur est nul :
\[
x^2 - x + 1 = 0
\]
Ce polynôme a pour discriminant :
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3
\]
Le discriminant étant strictement négatif, cette équation n’admet aucune solution.
\item La valeur de \( X_2 = 2 \) donne l’équation suivante :
\[
X_2 = 2 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x + \frac{1}{x} - 2 = 0 \Rightarrow x^2 + 1 - 2x = 0
\]
\[
x^2 - 2x + 1 = 0 \]
Ce polynôme a pour discriminant :
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 4 - 4 = 0
\]
Le discriminant étant nul, cette équation admet une solution double :
\[
x = \frac{2}{2} = 1
\]
3.}
L’ensemble des solutions de l’équation \( (E) \) est :
\[ X_2 = 2 \]
\[ x + \frac{1}{x} = 2 \]
\[ x + \frac{1}{x} - 2 = 0 \]
\[ \frac{x^2 + 1 - 2x}{x} = 0 \]
Si un quotient est nul si son numérateur est nul :
\[ x^2 - 2x + 1 = 0 \]
Ce polynôme admet pour discriminant :
\[ \Delta = b^2 - 4a \cdot c = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 4 - 4 = 0 \]
Le discriminant étant nul, ce polynôme admet une racine dont la valeur est :
\[ -\frac{b}{2 \cdot a} = -\frac{-2}{2 \times 1} = -\frac{2}{2} = -1 \]
3.}
Ainsi, l’équation \((E)\) admet pour unique solution le nombre 1.
